Простая конструктивная дилемма. Деструктивная дилемма Последовательность элементов сложной деструктивной дилеммы

10.04.2024

Условно-разделительное умозаключение - это такое умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждением. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная посылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) и вообще полилеммой (число разделительных членов больше двух).

Формализация дилеммы

Дилеммы бывают двух видов: конструктивные и деструктивные; обе формы дилеммы в свою очередь могут быть простыми и сложными.

Простая конструктивная дилемма

Это умозаключение состоит из двух посылок. В первой посылке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке, которая является дизъюнктивным суждением, утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие.

В традиционной формальной логике простую конструктивную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то С есть D .

А есть В или Е есть F .

________________

С есть D .

Приведем пример простой конструктивной дилеммы.

В романе В. Шукшина «Я пришел дать вам волю» написано так: «Давай думать, как быть. Две дороги домой: Кумой или Волгой. Обои закрыты. Там и тут надо пробиваться силой. Добром нас никакой дурак не пропустит. А раз такое дело, давай решим: где легче».

Простая конструктивная дилемма представлена в такой форме:

Если плыть Кумой (а), то надо пробиваться силой (Ь);

если плыть Волгой (с), то надо пробиваться силой (b ).

Можно плыть Кумой (а) или Волгой (с).

______________________________

Надо пробиваться силой (b ).

Выразим суждение «А есть В» переменной а, суждение «С есть D » - переменной b , суждение «Е есть F » - переменной с. Тогда схема простой конструктивной дилеммы выразится в виде следующего правила вывода:

В данном случае формула указанного вида будет такова:

Доказательство тождественной истинности этой формулы можно провести табличным методом. Приведем еще один пример простой конструктивной дилеммы:

Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить враги;

если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги.

Я могу идти через речку по мосту или вброд.

___________________________________

Меня могут заметить враги.

Сложная конструктивная дилемма

Это умозаключение строится из двух посылок. В первой посылке имеются два основания, из которых вытекают соответственно два следствия; во второй посылке, которая представляет собой дизъюнктивное суждение, утверждается истинность одного или другого основания; в заключении утверждается истинность одного или другого следствия. Сложная конструктивная дилемма отличается от простой конструктивной дилеммы только тем, что оба следствия ее условной посылки различны, а не одинаковы.

Этот вид дилеммы значительно чаще встречается в мышлении людей, в сознании литературных героев, исторических деятелей, поэтому мы приведем пример из художественной литературы.

Т. Тэсс в рассказе «Поединок в море» описывает такую ситуацию. Танкер «Ростов» взял около десяти тысяч тонн автомобильного бензина и уже готовился в Туапсе к отплытию... Сейчас танкер должен сняться с якоря... Якорь уже вышел из воды... На лапе якоря висит авиабомба, пролежавшая на дне моря двадцать лет. Капитан танкера «Ростов» Александр Котляров думал не только о своем судне, а и о других танкерах, тоже залитых бензином и нефтью, стоящих неподалеку от причалов. «Сколько времени пройдет, пока из Севастополя в Туапсе придут минеры? Бомба может взорваться каждую минуту. Двадцать лет она пролежала под водой, а сейчас может взорваться от любой случайности».

Перед капитаном встала очень сложная дилемма:

Если я оставлю танкер в порту до прибытия минеров, то бомба может

взорваться и повредить много судов; если я уведу танкер в море,

то в случае взрыва пострадает только один танкер.

Я могу оставить танкер в порту до прибытия минеров или увести в море.

________________________________________

Могут пострадать много судов в порту, или в случае взрыва пострадает только один танкер.

Капитан принимает такое решение: «Немедленно, не дожидаясь прибытия из Севастополя минеров, уйти из порта в море. Уйти, чтобы обезопасить другие суда, отплыть на такое расстояние, чтобы в случае взрыва опасность грозила только одному его танкеру. Уйти в море и там утопить бомбу». Танкер ушел из порта, и со второй попытки бомбу удалось утопить в море, а танкер не пострадал.

Так как дилемма означает сложный выбор из двух альтернатив одной, причем обе они нежелательны для субъекта (такая ситуация характеризуется выражением «из двух зол выбирать наименьшее»), то в древности о дилемме говорили: «Посадить на рога дилеммы». В нашей речи встречается выражение: «Передо мной стоит дилемма» (т. е. сложный выбор).

Схема сложной конструктивной дилеммы:

Данная формула выражает закон логики, что можно доказать табличным способом.

Простая деструктивная дилемма

В этом умозаключении первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отрицаний обоих этих следствий; в заключении отрицается основание.

Если человек болен сыпным тифом, то на 4-6-й день болезни у него будет высокая температура и появится сыпь.

У больного нет высокой температуры или нет сыпи.

____________________________________________

Этот человек не болен сыпным тифом.

Схема этой дилеммы:

Простая деструктивная дилемма может быть построена и по другой схеме:

Этой схеме соответствует формула

Сложная деструктивная дилемма

Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую из двух условных суждений с разными основаниями и разными следствиями; вторая посылка есть дизъюнкция отрицаний обоих следствий; заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме, обычной для традиционной логики, сложную деструктивную дилемму можно представить в виде следующей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то К есть М .

С не есть D или К не есть М.

___________________________

А не есть В или Е не есть F .

Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилеммы может быть следующий вывод:

Если Петров честен, то, не выполнив задания сегодня, он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу.

Но Петров не признался в том, что он сегодня не выполнилзадание, или не сделал его к следующему разу.

__________________________________________________

Петров не честен или не добросовестен 4 .

Схема сложной деструктивной дилеммы такая:

Этой схеме соответствует формула которая является законом логики.

В предыдущих схемах, соответствующих четырем видам дилеммы, во второй (разделительной) посылке союз «или» взят в соединительно-разделительном смысле, т. е. взята нестрогая дизъюнкция (v). Будут ли формулы алгебры логики, соответствующие дилеммам (четыре вида), тождественно-истинными, если союз «или» употребляется в строго разделительном смысле, т. е. если взята строгая дизъюнкция (v)? Являются ли законами логики следующие формулы:

1) 2)

3) 4)

(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импликация, то скобки можно опустить.)

Автором этой книги показано 5 , что независимо от того, какая дизъюнкция (строгая или нестрогая) входит в соответствующие формулы, простым дилеммам (конструктивной и деструктивной) соответствуют законы логики. Сложным дилеммам (и конструктивной, и деструктивной) соответствуют законы логики лишь в том случае, если, союз «или» рассматривается как нестрогая дизъюнкция. Но в ходе рассуждения, построенного в форме сложной дилеммы, человек употребляет именно строгую дизъюнкцию, ибо перед ним две взаимоисключающие возможности (причем обе они нежелательны). Это несоответствие возникло из-за отсутствия полного совпадения смысла союза «если... то» и смысла материальной импликации (в двузначной логике).

Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозаключение:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то G есть H .

Но С не есть D и G не есть H .

___________________________________

Следовательно, А не есть В и Е не есть F .

Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.

Но я его не купил и не украду.

_______________________________

Я не богат и не бесчестен.

Но здесь вторая посылка и заключение являются конъюнктивными, а не дизъюнктивными суждениями (как это должно быть по правилам построения дилеммы), поэтому приведенное выше умозаключение не является дилеммой, так как в нем нет разделительной посылки, характерной для дилеммы. Это умозаключение есть простая сумма двух условно-категорических умозаключений, построенных по правилу modus tollens, который дает истинное заключение. Формула modus tollens такая:

1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Я не куплю автомобиль.

________________

Я не богат.

2. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль.

Я не украду автомобиль.

_________________

Я не бесчестен.

Итак, перед нами условно-конъюнктивное, а не условно-дизъюнктивное (лемматическое) умозаключение.

Трилемма

Трилеммы, так же как и дилеммы, могут быть конструктивными и деструктивными; каждая из этих форм в свою очередь может быть простой или сложной. Простая конструктивная трилемма состоит из двух посылок и заключения. В первой посылке констатируется то, что из трех различных оснований вытекает одно и то же следствие; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию этих трех оснований; в заключении утверждается следствие.

У данного больного или грипп, или острое респираторное заболевание, или ангина.

__________________________________________________

В сложной конструктивной трилемме первая посылка состоит из трех различных оснований и трех различных вытекающих из них следствий, т. е. содержит три условных суждения. Вторая посылка является дизъюнктивным суждением, в котором утверждается (по крайней мере) одно из трех оснований. В заключении утверждается (по крайней мере) одно из трех следствий.

Приведем пример сложной конструктивной трилеммы. В некоторых сказках говорится о надписях на перекрестках трех дорог, которые содержат, например, такого рода трилемму:

Кто поедет прямо, будет в холоде и голоде; кто поедет направо, тот сам останется цел, а конь будет убит; кто поедет налево, тот сам будет убит, а конь останется цел.

Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево.

_____________________________________________________________

Он или будет в холоде и голоде, или сам останется цел, а конь будет убит, или сам будет убит, а конь останется цел.

Приведем еще пример трилеммы.

В своих воспоминаниях о Великой Отечественной войне Л. И. Баркович пишет об истории Ладожской дороги. Ладожская дорога, Дорога жизни, была фронтом. Направляясь в Ленин-

град по Ладожскому озеру, Иван Игнатьевич Баркович, будучи шофером грузовой машины, взял с собой сына Леонида, так как вторую машину - полуторку вести было некому. В автоколонне сын двигался за машиной отца. Дорога была опасна. Враг держал ее под огнем, лед расходился, образуя просветы. Вдруг машина отца остановилась - оказалось, кончился бензин.

Леонид Баркович рассуждает:

«У моей машины горючее тоже было на исходе. Переливать половину оставшегося бензина в бак отцовского «газика» было глупо - горючее могло кончиться раньше, чем мы добрались бы до берега.

Поехать вперед, сообщить, что тут стоит машина? Но помощь может прийти поздно...

Взять на буксир его машину - лед мог не выдержать».

Леонид принял решение: «Давай трос! На буксире у меня войдешь!» Добрались благополучно.

Деструктивные трилеммы, так же как и деструктивные дилеммы, бывают простые и сложные. Структура их аналогична структуре дилеммы, только предусматриваются не две, а три возможные альтернативы.

Приведем пример простой деструктивной трилеммы.

Если в ближайшее время погода ухудшится» то у него будут болеть суставы, повысится артериальное давление и будет ломить поясница.

Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось артериальное давление, или не ломит поясница.

__________________________________________

В ближайшее время погода не ухудшится.

В математике структура трилеммы используется тогда, когда возникают три возможных варианта решения задачи, доказательства теоремы и предстоит выбор одного из них.

Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения

Категорический силлогизм в мышлении часто употребляется в сокращенной форме - в форме энтимемы. Сокращенными могут быть не только простые категорические силлогизмы, но и условные, и разделительные, и условно-разделительные умозаключения, в которых может быть пропущена либо одна из посылок, либо заключение. Рассмотрим типы таких сокращенных умозаключений.

1. В умозаключении заключение в явном виде может не формулироваться. «Если данное тело - металл, то оно при наревании расширяется. Данное тело - металл». Заключение Данное тело при нагревании расширяется» не формулируетсяв явном виде, а просто подразумевается в этом условно-категорическом умозаключении.

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозаключении также пропущено заключение. «Многоугольники делятся на правильные и неправильные. Данный многоугольник неправильный». Заключение «Данный многоугольник не является правильным» опущено; оно легко может быть восстановлено.

В дилеммах и трилеммах заключение также может явно не формулироваться, а подразумеваться. Например, в приведенной ниже сложной деструктивной дилемме заключение явно не присутствует:

«Если соблюдать правила хранения зерна, то не произойдет его самозагорания, а если организовать хорошую охрану зернохранилища, то не произойдет умышленного поджога. Данный пожар произошел либо от самозагорания зерна, либо от умышленного поджога». Заключение - «В данном зернохранилище либо не соблюдаются правила хранения зерна, либо не налажена охрана» - подразумевается, а не высказывается в явной форме.

2. В умозаключении пропущена одна из посылок. В умозаключениях может быть пропущена первая посылка; она может подразумеваться, если выражает известное положение, теорему, закон и т. д.

В условно-категорическом умозаключении «Сумма цифр данного числа делится на 3, следовательно, данное число делится на 3» опущена первая посылка, формулирующая известную математическую закономерность: «Если сумма цифр данного числа делится на 3, то все число делится на 3».

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозаключении также пропущена первая посылка: «Существительное в русском языке может быть женского, мужского или среднего рода», а все умозаключение сокращенно формулируется так: «Данное существительное русского языка не является существительным ни женского рода, ни среднего рода. Следовательно, данное существительное мужского рода».

В приведенном ниже примере сложной конструктивной дилеммы: «Если я пойду через болото, то могу попасть в трясину, а если я пойду в обход, то не успею вовремя доставить донесение. Следовательно, я могу попасть в трясину или не успею вовремя доставить донесение» - вторая посылка не формулируется, а лишь подразумевается: «Я могу идти через болото или в обход».

Можно было бы привести и другие примеры сокращенных умозаключений: чисто условных, условно-категорических, чисто разделительных, разделительно-категорических, условно-разделительных (дилемм, трилемм) с пропущенной первой или второй посылкой, - но предоставляем это самостоятельно сделать читателю.

Итак, рассмотренные нами прямые выводы, такие, как чисто условные, чисто разделительные, условно-категорические, разделительно-категорические и условно-разделительные (лемматические) умозаключения, сформулированные полностью и сокращенные (т. е. в которых пропущена либо одна из посылок, либо заключение), широко используются в процессе научного и обыденного мышления, в процессе обучения в школе и в вузе. Поэтому знание правил построения этих видов умозаключений предостережет от логических ошибок в мышлении, поможет доказательнее, аргументированнее строить свои рассуждения и сделать более эффективным обучение учащихся и студентов.

Прямые выводы кроме рассмотренных выше форм включают и такие виды:

1. Простая контрапозиция.

Правило простой контрапозиции имеет следующий вид:

а имплицирует b , то отрицание b имплицирует отрицание а ». Здесь а и b - переменные, обозначающие произвольные высказывания, или пропозициональные переменные.

1. Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный.

____________________________________________________________________

Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносторонний.

2. Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом не соединяется.

_____________________________________________________________________________________

Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это вещество не является фосфором.

Заметим, что в логике высказываний

Формуланазывается законом простой контрапозиции.

2. Сложная контрапозиция.

- правило сложной контрапозиции.

Пример рассуждения по правилу сложной контрапозиции:

Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой на каникулы.

________________________________________________________________________

Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой, то, следовательно, а не была здорова.

3. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий). П. С. Новиков называет его правилом соединения посылок:

Это правило читается так: «Если а имплицирует, что b имплицирует с, то а и b имплицируют с».

В. А. Сухомлинский писал: «Если учитель стал другом ребенка, если эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, в сердце ребенка никогда не появится зло». На основании правила соединения посылок (правила конъюнктивного объединения условий) мы можем это высказывание В. А. Сухомлинского записать иначе, но оно будет эквивалентно прежнему его высказыванию. Заключение: «Если учитель стал другом ребенка и эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, то в сердце ребенка никогда не появится зло».

4. Правило экспортации (разъединения условий):

Это правило читается так: «Если а и b имплицируют с, то а имплицирует, что b имплицирует с. Правило это обратно предыдущему. Поэтому в качестве иллюстрации можно взять те же мысли В. А. Сухомлинского, только сначала прочитать наше полученное заключение, из которого можно прийти к высказыванию самого В. А. Сухомлинского.

Условно-разделительным (лемматическим , лат. lemma - «предположение») умозаключением называется такое, в котором

одна посылка условное суждение, а
другая посылка - разделительное суждение.

Альтернативное определение лемматического силлoгизма

Лемматический или условно-разделительный силлогизм - это дедуктивное умозаключение, в котором большая посылка состоит из двух или более числа условных суждений, а меньшая - категорическое или разделительное суждение.

Важно! Следует иметь ввиду, что:

Каждый случай уникален и индивидуален.
Тщательное изучение вопроса не всегда гарантирует положительный исход дела. Он зависит от множества факторов.

Чтобы получить максимально подробную консультацию по своему вопросу, вам достаточно выбрать любой из предложенных вариантов:

Разделительное суждение может содержать две, три и большее число альтернатив, поэтому лемматические умозаключения делятся на дилеммы (две альтернативы), трилеммы (три альтернативы) и полилеммы (много предположений).

Закономерности выводов в лемматических умозаключениях можно рассмотреть на примерах с минимумом числа условных суждений - дилеммах, поскольку все остальные виды лемматических умозаключений подчиняются тем же логическим правилам.

Виды дилемм:

1. конструктивная (созидательная):
  - простая;
  - сложная.
2. деструктивная (разрушительная):
  - простая;
  - сложная.

Конструктивной называют дилемму, третья посылка и заключение ко-торой являются утвердительными суждениями.

Деструктивной называют дилемму, третья посылка и заключение ко-торой являются отрицательными суждениями.

Простой называют дилемму, в которой выводом является простое суждение, а в условных посылках общими являются либо следствия, либо ос-нования.

Сложной называют дилемму, в которой выводом является сложное су-ждение, а в условных посылках нет ни одного общего основания или общего следствия.

Простая деструктивная дилемма

В простой деструктивной дилемме:

- условная посылка содержит одно основание , из которого вытекает два возможных следствия ;
- заключение отрицает основание.

Рассуждение направлено от отрицания истинности следствий к отрицанию истинности основания.

Если Н. совершил умышленное преступление (р), значит, в его действиях был прямой (q) или косвенный (r).

Но в действиях Н не было ни прямого (q), ни косвенного умысла (r).

________________________________________________________________
Преступление, совершенное Н., не является умышленным (р).

Ещё пример:

Если я хочу купить квартиру, то должна иметь либо наличные, либо достаточный доход для получения кредита.

У меня нет ни того, ни другого.

________________________________________________

Значит, квартиру не куплю.

а → в а → с
не-в V не-c

_________________________

Сложная деструктивная дилемма

В сложной деструктивной дилемме:

- условная посылка содержит два основания и два следствия;
- разделительная посылка отрицает оба следствия;
- заключение отрицает оба основания.

Рассуждение направлено от отрицания истинности следствий к отрицанию истинности оснований.

Если предприятие является арендным (р), то оно осуществляет предпринимательскую деятельность на основе взятого им в аренду имущественного комплекса (q); если оно является коллективным (r), то осуществляет такую деятельность на основе находящегося в его собственности имущества (s).
Данное предприятие не осуществляет свою деятельность ни на основе взятого в аренду имущественного комплекса (не-q), ни на основе находящегося в его собственности имущества (не-s).

____________________________________________________________
Данное предприятие не арендное (не-р) или не коллективное (не-r).

Ещё пример:

Если бы я был богат, я бы купил автомобиль. Если бы я был бесчестен, я бы его украл.

Я не куплю и не украду.

Значит, я не богат и не бесчестен.

а → в с → d

не-в Λ не-d

___________________

не-а Λ не-с

Достоверность лемматических силлогизмов находится в непосредственной зависимости от правильности условных суждений в большей посылке и от полноты членов деления в меньшей. Так как эти условия часто не соблюдаются, то лемматические умозаключения становятся источником ошибок. При этом именно неполное перечисление альтернатив чаще всего и является ошибочным.

Двумя альтернативами часто невозможно исчерпать всего возможного числа случаев. Например:

Если какой-либо студент любит учиться, то он не нуждается ни в каком поощрении. Если же он чувствует отвращение к учению, то всякое поощрение окажется бесполезным.

Но студент может или любить учение, или чувствовать к нему отвращение.

_______________________________________________________________

Значит, поощрение либо излишне, либо бесполезно в деле обучения.

Вывод в приведенном примере вряд ли является достоверным, поскольку «любовь к учению» и «отвращение к учению» не являются исчерпывающим рядом альтернатив. Могут быть такие студенты, которые не испытывают любви к учению, но и не питают отвращения к нему, поэтому для таких студентов поощрение может быть действенным.

§ 9. УСЛОВНО-РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ (ЛЕММАТИЧЕСКИЕ) УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Условно-разделительное умозаключение - это такое умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждением. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная посылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) и вообще полилеммой (число разделительных членов больше двух).
Формализация дилеммы

Простая конструктивная дилемма

В традиционной формальной логике простую конструктивную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы:
Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то С есть D .

А есть В или Е есть F .

________________

С есть D .
Приведем пример простой конструктивной дилеммы.

Простая конструктивная дилемма представлена в такой форме:
Если плыть Кумой (а), то надо пробиваться силой (Ь);

если плыть Волгой (с), то надо пробиваться силой (b ).

Можно плыть Кумой (а) или Волгой (с).

______________________________

Надо пробиваться силой (b ).
Выразим суждение «А есть В» переменной а, суждение «С есть D » - переменной b , суждение «Е есть F » - переменной с. Тогда схема простой конструктивной дилеммы выразится в виде следующего правила вывода:

В данном случае формула указанного вида будет такова:

Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить враги;

если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги.

Я могу идти через речку по мосту или вброд.

___________________________________

Меня могут заметить враги.
Сложная конструктивная дилемма

Перед капитаном встала очень сложная дилемма:
Если я оставлю танкер в порту до прибытия минеров, то бомба может

взорваться и повредить много судов; если я уведу танкер в море,

то в случае взрыва пострадает только один танкер.

Я могу оставить танкер в порту до прибытия минеров или увести в море.

________________________________________

Могут пострадать много судов в порту, или в случае взрыва пострадает только один танкер.

Схема сложной конструктивной дилеммы:

Формула:

Данная формула выражает закон логики, что можно доказать табличным способом.

Простая деструктивная дилемма

Пример:
Если человек болен сыпным тифом, то на 4-6-й день болезни у него будет высокая температура и появится сыпь.

У больного нет высокой температуры или нет сыпи.

____________________________________________

Этот человек не болен сыпным тифом.

Схема этой дилеммы:

Простая деструктивная дилемма может быть построена и по другой схеме:

Этой схеме соответствует формула

Сложная деструктивная дилемма

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то К есть М .

С не есть D или К не есть М.

___________________________

А не есть В или Е не есть F .
Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилеммы может быть следующий вывод:
Если Петров честен, то, не выполнив задания сегодня, он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу.

Но Петров не признался в том, что он сегодня не выполнилзадание, или не сделал его к следующему разу.

__________________________________________________

Петров не честен или не добросовестен 4 .

Схема сложной деструктивной дилеммы такая:

Этой схеме соответствует формула которая является законом логики.

1) 2)

3) 4)

(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импликация, то скобки можно опустить.)

Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозаключение:
Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то G есть H .

Но С не есть D и G не есть H .

___________________________________

Следовательно, А не есть В и Е не есть F .

Пример:

Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.

Но я его не купил и не украду.

_______________________________

Я не богат и не бесчестен.

1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Я не куплю автомобиль.

________________

Я не богат.

2. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль.

Я не украду автомобиль.

_________________

Я не бесчестен.

Итак, перед нами условно-конъюнктивное, а не условно-дизъюнктивное (лемматическое) умозаключение.
Трилемма

Если у больного грипп, то рекомендуется обратиться к врачу; если у больного

У данного больного или грипп, или острое респираторное заболевание, или ангина.

__________________________________________________

Данному больному рекомендуется обратиться к врачу.
В сложной конструктивной трилемме первая посылка состоит из трех различных оснований и трех различных вытекающих из них следствий, т. е. содержит три условных суждения. Вторая посылка является дизъюнктивным суждением, в котором утверждается (по крайней мере) одно из трех оснований. В заключении утверждается (по крайней мере) одно из трех следствий.

Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево.

_____________________________________________________________

Приведем еще пример трилеммы.
В своих воспоминаниях о Великой Отечественной войне Л. И. Баркович пишет об истории Ладожской дороги. Ладожская дорога, Дорога жизни, была фронтом. Направляясь в Ленин-

Леонид Баркович рассуждает:

Поехать вперед, сообщить, что тут стоит машина? Но помощь может прийти поздно...

Взять на буксир его машину - лед мог не выдержать».

Леонид принял решение: «Давай трос! На буксире у меня войдешь!» Добрались благополучно.

Приведем пример простой деструктивной трилеммы.

Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось артериальное давление, или не ломит поясница.

__________________________________________

В ближайшее время погода не ухудшится.

В математике структура трилеммы используется тогда, когда возникают три возможных варианта решения задачи, доказательства теоремы и предстоит выбор одного из них.
Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения

Прямые выводы кроме рассмотренных выше форм включают и такие виды:

1. Простая контрапозиция.

Правило простой контрапозиции имеет следующий вид:

1. Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный.

____________________________________________________________________

Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносторонний.

2. Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом не соединяется.

_____________________________________________________________________________________

Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это вещество не является фосфором.
Заметим, что в логике высказываний

Формуланазывается законом простой контрапозиции.

2. Сложная контрапозиция.

- правило сложной контрапозиции.

Пример рассуждения по правилу сложной контрапозиции:

Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой на каникулы.

________________________________________________________________________

Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой, то, следовательно, а не была здорова.
3. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий). П. С. Новиков называет его правилом соединения посылок:

Это правило читается так: «Если а имплицирует, что b имплицирует с, то а и b имплицируют с».

4. Правило экспортации (разъединения условий):

§ 10. НЕПРЯМЫЕ (КОСВЕННЫЕ) ВЫВОДЫ
К ним относятся: рассуждение по правилу введения импликации; сведение «к абсурду»; рассуждение «от противного» (противоречащего).

1. Рассуждение по правилу введения импликации.

Правило вывода сформулировано так:

Данное правило читается так: «Если из посылок гамма (Г) и посылки а выводится заключение b , то из одних посылок Г выводится, что а имплицирует b ». Это правило вывода имеет и другое название: «Теорема о дедукции». Здесь «Г» может быть и пустым множеством посылок.

Приведем пример рассуждения студента, поясняющий приведенное правило. Пусть Г содержит следующие посылки: 1) «Я сдал экзамен по педагогике на «отлично»; 2) «Я сдал экзамен по логике на «отлично»; 3) «Я сдал экзамен по математике на отлично». Посылка а означает: «Я успешно выполнил всю порученную мне работу на факультете». Заключение b означает: «Я получу повышенную стипендию». То, что записано над чертой, будет содержательно прочитано так: «Если я сдал экзамены по педагогике, логике и математике на «отлично» и успешно выполнил всю порученную мне работу на факультете, то из этого последует заключение: «Я получу повышенную стипендию». То, что записано под чертой, содержательно можно прочитать так: Я сдал экзамены по педагогике, логике и математике на «отлично». Отсюда следует заключение: «Если я успешно выполню всю порученную мне работу на факультете, то я получу повышенную стипендию».

2. Правило сведения к абсурду. Это правило иначе называется правилом введения отрицания.

Правило читается так: «Если из посылок Г и посылки а выводится противоречие, т. е. b и не- b , то из одних Г выводится не-а». Метод сведения к абсурду широко применяется в мышлении, как научном, так и в полемическом и в обыденном.

В классической двузначной логике метод сведения к абсурду выражается в виде формулы:- противоречие или ложь.

Эта формула говорит о том, что суждение а надо отрицать (считать ложным), если из а вытекает противоречие.

Определение отрицания посредством сведения к абсурду, противоречию широко используется не только в классической, но и в неклассических логиках: в многозначных, конструктивных и интуиционистской.

3. Правило непрямого вывода - рассуждение «от противного» (противоречащего). Доказательство «от противного» применяется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Методом «от противного» нередко доказываются математические теоремы.

Суть рассуждения «от противного» подробно будет показана в теме «Доказательство», в разделе «Косвенное доказательство».

Итак, мы рассмотрели правила прямых и непрямых (косвенных) выводов и убедились, что они широко применяются в мышлении. При этом было показано, как та или иная форма прямого или косвенного вывода наполняется конкретным содержанием, взятым из областей педагогики, математики, физики, этики и других областей науки и обыденного мышления, а также из опыта преподавания в средней школе.

§ 11. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ
Логическая природа индукции

Дедуктивные умозаключения позволяют выводить из истинных посылок при соблюдении соответствующих правил истинные заключения. Индуктивные умозаключения обычно дают нам не достоверные, а лишь правдоподобные заключения.

В определении индукции в логике выявляются два подхода. 1. В традиционной (не в математической) логике индукцией называется умозаключение от знания меньшей степени общности к новому знанию большей степени общности (т. е. от отдельных частных случаев мы переходим к общему суждению). 2. В современной математической логике индукцией называют умозаключение, дающее вероятное суждение.

Общее в природе и обществе не существует самостоятельно, до и вне отдельного, а отдельное не существует без общего; общее существует в отдельном, через отдельное, т. е. проявляется в конкретных предметах. Поэтому общее, существенное, повторяющееся и закономерное в предметах познается через изучение отдельного, и одним из средств познания общего выступает индукция. В зависимости от избранного основания выделяют индукцию полную и неполную. По другому основанию выделяют математическую индукцию.

Полной индукцией называется такое умозаключение, в котором общее заключение о всех элементах класса предметов делается на основании рассмотрения каждого элемента этого класса.

Заключение может быть сделано из единичных суждений, как это видно из приведенного ниже умозаключения. Явление, о котором пойдет речь, образно называют «парадом» планет. Один раз в 179 лет все планеты располагаются вместе по одну сторону от Солнца в секторе с углом примерно в 95 градусов. В последний раз это явление наблюдалось в 1982 г.

Земля в 1982 г. была расположена вместе с другими планетами по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизительно в 95 градусов.

Марс в 1982 г. был расположен вместе с другими планетами по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизительно 95 градусов

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Меркурий в 1982 г. был расположен вместе с другими планетами по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизительно 95 градусов.

Земля, Марс, Венера, Нептун, Плутон, Сатурн, Уран, Юпитер, Меркурий - планеты Солнечной системы.

________________________________________________________________________________________________________

Все планеты Солнечной системы в 1982 г. были расположены вместе по одну сторону от Солнца в секторе с углом приблизительно 95 градусов.
Заключение по полной индукции может быть сделано не только из единичных, но и из общих суждений.

К полной индукции относится доказательство по случаям. Много примеров доказательства по случаям предоставляет математика, в том числе ее школьный курс. Пример доказательства разбором случаев дает теорема: «Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений» (v - abc ). При доказательстве этой теоремы рассматриваются особо следующие три случая: 1) измерения выражаются целыми числами; 2) измерения выражаются дробными числами; 3) измерения выражаются иррациональными числами.

Полная индукция дает достоверное заключение, поэтому она часто применяется в математических и в других строгих доказательствах. Чтобы использовать полную индукцию, надо выполнить следующие условия:

1. Точно знать число предметов или явлений, подлежащих рассмотрению.

2. Убедиться, что признак принадлежит каждому элементу этого класса.
Математическая индукция

Один из важнейших методов доказательства в математике основан на аксиоме (принципе) математической индукции. Пусть 1) свойство А имеет место при n - 1; 2) из предположения о том, что свойством А обладает какое-либо натуральное число л, следует, что этим свойством А обладает и число n +1. Тогда делаем заключение, что свойством А обладает любое натуральное число.

Математическая индукция используется при выведении ряда формул арифметической и геометрической прогрессии, формул бинома Ньютона и др.
§ 12. ВИДЫ НЕПОЛНОЙ ИНДУКЦИИ
Неполная индукция применяется в тех случаях, когда мы, во-первых, не можем рассмотреть все элементы интересующего нас класса явлений; во-вторых, если число объектов либо бесконечно, либо конечно, но достаточно велико; в-третьих, рассмотрение уничтожает объект (например, «Все деревья имеют корни»). Тогда мы рассматриваем не все случаи изучаемого явления, а заключение делаем для всех. Например, при нагревании мы наблюдаем расширение азота, кислорода, водорода и де-аем заключение, что все газы при нагревании расширяются. Один из видов неполной индукции - научная индукция - имеет очень большое значение, так как позволяет формулировать общие суждения.

По способам обоснования заключения неполная индукция делится на три вида.

I вид. Индукция через простое перечисление (популярная индукция)

На основании повторяемости одного и того же признака у рада однородных предметов и отсутствия противоречащего случая делается общее заключение, что все предметы этого рода обладают этим признаком. Так, например, на основе популярной индукции раньше считали, что все лебеди белые, до тех пор пока не встретили в Австралии черных лебедей. Такая индукция дает заключение вероятное, а не достоверное. Характерной и очень распространенной ошибкой является «поспешное обобщение». Например, столкнувшись несколько раз с ошибками в свидетельских показаниях, говорят: «Все свидетели ошибаются», или ученику заявляют: «Ты ничего не знаешь по данному вопросу» и т. п.

На основе популярной индукции народ вывел немало полезных примет: ласточки низко летают - быть дождю; если красный закат солнца, то завтра будет ветреный день, и др.
II вид. Индукция через анализ и отбор фактов

В популярной индукции наблюдаемые объекты выбираются случайно, без всякой системы. В индукции через анализ и отбор фактов стремятся исключить случайность обобщений, так как изучаются планомерно отобранные, наиболее типичные предметы - разнообразные по времени, способу получения и существования и другим условиям. Так вычисляют среднюю урожайность поля, судят о всхожести семян, о качестве больших партий товаров, составе найденных полезных ископаемых. Например, при изучении качества партии рыбных консервов банки берутся из разных холодильников, выпущенные в разные сроки, различными заводами, из различных сортов рыбы.

С древности на основании многолетних наблюдений люди заметили, что серебро очищает питьевую воду. Соли серебра добавляли в составы, которыми лечили от ожогов. Постепенно люди пришли к выводу, что серебро обладает целебными свойствами, и этот вывод был получен на основе индукции через отбор. Впоследствии научные исследования показали, что серебро активирует кислород, уничтожающий бактерии, следовательно, первоначальный вывод оказался правильным.
Понятие вероятности

Различаются два вида понятия «вероятность» - объективная и субъективная вероятность. Объективная вероятность - понятие, характеризующее количественную меру возможности появления некоторого события при определенных условиях. Этот вид вероятности дает характеристику объективным свойствам и отношениям массовых явлений случайного характера. Объективная вероятность выражается с помощью математической теории вероятностей. Например, вероятность выпадения «орла» при бросании монеты равна 1/2, а вероятность выпадения той или иной грани при бросании куба равна 1/6. Понятие математической вероятности можно плодотворно применять лишь к массовым явлениям, т. е. происходящим много раз. К таким событиям относится появление ребенка определенного пола, появление определенной буквы в большом тексте, выпадение дождя, появление дефектного изделия в отдельных видах массовой продукции и т. д.

Субъективная вероятность позволяет анализировать особенности субъективной, познавательной деятельности людей в условиях неопределенности. Например, человек утверждает: «Весьма вероятно, что в ближайшие годы значительно большее распространение в промышленном производстве получат автоматические манипуляторы (промышленные роботы)». Здесь вероятность выступает как мера субъективной уверенности. Последняя определяется, во-первых, имеющейся (или отсутствующей) у человека информацией; во-вторых, психологическими особенностями человека, которые играют важную роль при оценке человеком степени вероятности наступления того или иного события. В речи для характеристики явлений мы используем различные слова: «очень вероятно», «маловероятно», «невероятно», «неправдоподобно» и др.

Условия повышения степени вероятности выводов посредством индукции через анализ и отбор фактов таковы:

1) количество исследованных экземпляров данного класса должно быть достаточно большим. Например, репрезентативным считается опрос мнения определенного процента от количества людей, составляющих данную группу; в каждом исследуемом случае этот процент, это количество отобранных элементов класса будет иным;

2) элементы класса должны быть отобраны планомерно и быть более разнообразными;

3) изучаемый признак, по которому классифицируются объекты, должен быть типичным для всех его элементов;

4) изучаемый признак должен быть существенным для предметов рассматриваемого класса.

Приведем примеры из социологических исследований, проводимых, в частности, и среди молодежи.

Все множество социальных объектов, изучаемое в пределах, очерченных программой социологического исследования и территориалыю-временными границами, образует генеральную совокупность. Возможно сплошное обследование, но оно является примером полной индукции (например, всесоюзные переписи, проводившиеся ЦСУ при Совете Министров СССР в 1959 г. и 1979 г., или, например, изучение всех объектов в пределах данного региона, города, учреждения, школы и т. д.). Здесь же мы рассматриваем неполную индукцию. Примером ее является эмпирическое социологическое исследование, которое проводится на некоторой части генеральной совокупности. Часть социальных объектов генеральной совокупности, выступающих в качестве объектов наблюдения, называется выборочной совокупностью. Модель (т. е. выборочная совокупность) по размеру, разумеется, меньше, чем моделируемая (генеральная) совокупность. Чтобы лучше изучить все целое, надо более четко и правильно выбрать для изучения его часть, тогда будет меньше ошибок в заключениях о целом.

Существуют различные виды выборки: стихийная, квотная, вероятностная и др. При этом должны учитываться следующие требования: полнота, точность, адекватность, удобство работы, отсутствие дублирования единиц наблюдения. Основой могут служить алфавитные списки сотрудников учреждения, школы. Так, например, при изучении удовлетворенности трудом или при изучении социальной активности молодежи данного предприятия основой выборки служит список молодежи этого предприятия.

Под объемом выборки понимается общее число единиц наблюдения, включенных в выборочную совокупность. Выборка должна быть достаточно большой; она зависит от степени однородности генеральной совокупности и от необходимой степени точности выборочных результатов. Выборка, достаточная для изучения одного признака, может оказаться недостаточной для другого.

При выборке часто совершается ошибка, называемая «выбор себе подобных», которую нередко совершают интервьюеры - студенты, молодежь, берущие интервью чаще у тех, с кем им легче общаться, в результате этого часто завышается доля лиц с высшим образованием и молодых по возрасту.

При соответствующем виде выборки и выполнении условий ее осуществления повышается степень вероятности заключений посредством индукции через анализ и отбор фактов.

III вид. Научная индукция

Научной индукцией называется такое умозаключение, в котором на основании познания необходимых признаков или необходимой связи части предметов класса делается общее заключение обо всех предметах этого класса. Научная индукция, так же как полная индукция и математическая индукция, дает достоверное заключение. Достоверность (а не вероятность) заключений научной индукции, хотя она охватывает и не все предметы изучаемого класса, а лишь их часть (и притом небольшую), объясняется тем, что учитывается важнейшая из необходимых связей - причинная. С помощью научной индукции делается заключение: Всем людям для их жизнедеятельности необходима влага». I частности, Ю. С. Николаев и Е. И. Нилов в книге «Голодание ради здоровья» пишут, что человек без пищи (при полном голодании) может прожить 30-40 дней, а воду он должен пить ежедневно: без воды человек не может жить, ибо процесс обезвоживания организма человека ведет к нарушению внутриклеточного обмена веществ, что приводит к гибели человека. Голодание же, проводимое под наблюдением врачей, наоборот, способствуют при многих заболеваниях (например, хроническом нефрите, гипертонической болезни, стенокардии, атеросклерозе, нейродермите, бронхиальной астме, шизофрении, общем ожирении и многих других болезнях) выздоровлению при одноразовом или повторном длительном голодании. Этот вывод тоже был получен путем научной индукции.

Причиной излечивания этих болезней при длительном голодании является изумительная саморегуляция организма во время полного лечебного голода, когда осуществляется общебиологическая перестройка организма больного человека. Обычное переедание, которое ежедневно задает огромную, совершенно ненужную работу желудку и сердцу, - главная причина многих болезней, усталости, ранней дряхлости и преждевременной смерти.

Применение научной индукции позволило сформулировать научные законы, например физические законы Архимеда, Кеплера, Ома и др. Так, закон Архимеда есть проявление свойства всякой жидкости оказывать давление снизу вверх на погруженное в нее тело.

Научная индукция опирается не столько на большое число исследованных фактов, сколько на всесторонность их анализа и установление причинной зависимости, выделение необходимых признаков или необходимых связей предметов и явлений. Поэтому научная индукция и дает достоверное заключение.

Философ С. А. Лебедев в результате изучения категории «индукция» в истории философии и логики показал, что в процессе развития категории индукции произошло ее разделение на метод и вывод. Так рассматривали индукцию в Древней Греции Аристотель, в XIX в. - английский философ и экономист Дж. Ст. Милль и английский логик, экономист и статистик Ст. Джевонс. Индукция как метод научного познания - сложная содержательная операция, включающая в себя наблюдение, анализ, отбор материала, эксперимент и другие средства. Индукция как вывод относится к классу индуктивных умозаключений. Позднее индукция как вывод разделилась на формальную индукцию и материальную индукцию. Оба вида индукции обозначают любой вывод, посылки которого имеют менее общий характер, чем заключение. Отличие их в том, что первая не учитывает специфики содержания посылок (обыденное, философское, конкретно-научное и др.), а вторая учитывает, что имеет существенное значение.

Далее материальная индукция разделилась на научную и ненаучную. Научная индукция в посылках опирается только на существенные связи и отношения, благодаря чему достоверность ее заключений носит необходимый характер (хотя она и является неполной индукцией). В современной логике термин «индукция» часто употребляют как синоним понятий «недемонстративный вывод», «вероятностный аргумент». Таковы системы индуктивной логики Р. Карнапа, Я. Хинтикки и других логиков. Но отождествление понятий «индукция», «индуктивный вывод» с понятиями «вероятностный вывод», «недемонстративный аргумент» ведет к терминологическому отождествлению разных понятий, так как гносеологическая проблематика индукции шире, чем проблематика вероятностных выводов.

Необходима четкая фиксация существенного различия классического и современного понимания индукции, что важно для решения таких вопросов методологии, как индукция и проблема открытия научных законов, индукция и ее роль в жизни и др. Для различения двух смыслов индукции предполагают классическое понимание обозначить термином «индукция!» (сокращенноИ 1), а современное -- «индукция 2 » (И 2) 6 .
§ 13. ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРИЧИННЫХ СВЯЗЕЙ
Понятие причины и следствия

Причина - явление или совокупность явлений, которые непосредственно обусловливают, порождают другое явление (следствие).

Причинная связь является всеобщей, так как все явления, даже случайные, имеют свою причину. Случайные явления подчиняются статистическим закономерностям.

Причинная связь является необходимой, ибо при наличии причины действие (следствие) обязательно наступит. Например, хорошая подготовка и музыкальные способности являются причиной того, что этот человек станет хорошим музыкантом. Но причину нельзя смешивать с условиями. Ребенку можно создать все условия: купить инструмент и ноты, пригласить учителя, купить книги по музыке и т. д., но если нет способностей, то не выйдет из ребенка хорошего музыканта. Условия способствуют или, наоборот, мешают действию причины, но условия и причина не тождественны.
Методы установления причинной связи

Причинная связь между явлениями определяется посредством ряда методов, описание и классификация которых восходит к Ф. Бэкону и которые были развиты Дж. Ст. Миллем.

Метод сходства. Допустим, требуется выяснить причину какого-то явления а. Исходя из определения причины как явления или совокупности явлений, которые предшествуют другому явлению и вызывают его, в данном случае явление а, будем анализировать предшествующие а явления (табл. 11). В первом случае появления а ему предшествовали обстоятельства ABC , во втором случае - ADE , в третьем случае - АКМ. Что могло быть причиной а? Так как во всех трех случаях общим обстоятельством было А, а все остальные обстоятельства были различны, то делается вывод, что, вероятно, А является причиной или частью причины явления а.
Таблица 11

Вероятно, А есть причина а.

Примером применения метода единственного сходства является выяснение причины заболевания трех человек энцефалитом. В первом случае заболеванию энцефалитом одного человека предшествовали события: А - укус иксодового клеща; В - начало летнего периода; С - пребывание в лесу на Урале. Во втором случае заболеванию человека предшествовали такие события: А - укус иксодового клеща; D - весенний период; Е - пребывание в лесистом районе Восточной Сибири. В третьем случае заболеванию человека предшествовали обстоятельства: А - укус иксодового клеща; К - конец летнего периода; М - пребывание в березовом лесу Алтая. Общими во всех трех случаях заболевания энцефалитом трех людей был укус иксодового клеща, что и явилось возможной причиной их заболевания.

Если наблюдаемые случаи какого-либо явления имеют общим лишь одно обстоятельство, то, очевидно, оно и есть причина данного явления.

Метод этот связан с наблюдением.

Метод различия применяется тогда, когда рассматриваются два случая, различающиеся тем, что в первом случае явление а наступает, а во втором оно не наступает. При исследования предшествующих обстоятельств установлено, что они как в первом, так и во втором случае сходны во всех пунктах, кроме одного, который в первом случае присутствовал, а во втором отсутствовал (табл. 12).
Таблица 12

Вероятно, А есть причина а.

Метод различия в большей степени связан с экспериментом, чем с наблюдением, так как нам приходится произвольно отделять то или другое обстоятельство от других обстоятельств. Например, в аэропорту, чтобы выяснить, нет ли у пассажиров крупных металлических предметов, им предлагают пройти через устройство, снабженное электромагнитом и подсоединенным к нему электрическим звонком. Когда один из туристов группы проходил через данное устройство, зазвенел звонок. Ему предложили вынуть из карманов все металлические предметы. После удаления им связки ключей и металлических денег, когда он повторно прошел через данное устройство, звонок не зазвенел. Следовательно, причиной звонка было наличие именно данных металлических предметов у этого пассажира. Все остальные предшествующие обстоятельства были теми же самыми.

Если случаи, при которых явление наступает или не наступает, различаются только в одном предшествующем обстоятельстве, а все другие обстоятельства тождественны, то это одно обстоятельство и есть причина данного явления.

Другой пример. Если человек съел клубнику и после этого у него появилась аллергическая реакция, в то время как все другие пищевые продукты оставались прежними, и если в последующие дни, когда он не ел клубнику, у него не было аллергических реакций, то врач сделает вывод, что съеденная клубника вызвала у данного больного аллергию.

Метод сопутствующих изменений. Если при изменении предшествующего обстоятельства А изменяется и изучаемое нами явление а, а все остальные предшествующие обстоятельства, например В, С, D , Е, остаются неизменными, то А является причиной а.

Например, если мы увеличим скорость движения в 2 раза, то за то же самое время пройденный путь увеличится тоже в 2 раза.

Следовательно, увеличение скорости и есть причина увеличения пройденного пути за тот же промежуток времени.

S - υ t - формула равномерного движения, устанавливающая, что при изменении υ или t (скорости движения или времени движения) прямо пропорционально изменяется и путь (величинаS ).

Трение есть причина нагревания тела; увеличение длины металлического стержня свидетельствует о его нагревании. Эти и другие примеры иллюстрируют применение метода сопутствующих изменений. При этом мы не можем отделить трение от нагревания, поэтому не могли бы использовать метод различия для установления причины нагревания тела.

Если изменение одного обстоятельства всегда вызывает изменение другого, то первое обстоятельство есть причина второго.

Метод остатков. Пусть изучаемое явление К распадается на несколько однородных частей: а, b , с, d . Установлено, что ему предшествуют обстоятельства: А, В, С. При этом известно, что А является причиной а, В - причиной b , С - причиной с. Должно быть сходное с А, В, С обстоятельство D , которое является причиной остающегося необъясненным явления d .

Примером, иллюстрирующим этот метод, является открытие планеты Нептун. Наблюдая за величинами отклонения планеты Уран от вычисленной для нее орбиты, ученые пришли к выводу, что отклонения на величины а, b , с, вызванные наличием влияния планет А, В, С, не исчерпывают реального отклонения от расчетной орбиты. Оставалась еще величина d . На основании этого был сделан вывод, что должна существовать неизвестная планета D , которая и вызывает это отклонение. У. Леверье рассчитал положение этой неизвестной планеты, а в 1846 г. И. Галле, построив телескоп, нашел ее на небесной сфере. Так была открыта планета Нептун.

Если известно, что причиной исследуемого явления не служат необходимые для него обстоятельства, кроме одного, то это одно обстоятельство и есть, вероятно, причина данного явления.

Рассмотренные методы установления причинных связей чаще всего применяются не изолированно, а в сочетании, дополняя друг друга.

§ 14. ДЕДУКЦИЯ И ИНДУКЦИЯ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Как в любом процессе мышления (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. «Индукция и дедукция связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга» 7 .В индукции мы идем от посылок, выражающих знания меньшей степени общности, к новому суждению большей степени общности, от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукдии ход рассуждения противоположный, т. е. от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности.

В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве. Индуктивный метод используется тогда, когда изучается новый материал, трудный для учащихся, и когда в результате беседы они смогут сделать сами определенное заключение, обобщение, сформулировать правило, теорему или некоторую закономерность. Индуктивный метод в большей мере активизирует учащихся, однако требует от учителя творческого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивается больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.

Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения дает два пути объяснения материала: «Индуктивно-дедуктивный путь объяснения материала, когда последнее начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции), и путь дедуктивно-индуктивный, когда сообщение учащимся нового осуществляется самим учителем в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями» 8 .

К. Д, Ушинский высоко ценил применение индукции при изучении грамматики. На специально подобранных примерах он развивал у детей умение подмечать закономерности языка и делать самостоятельные обобщения, формулировать правила, что имело огромное значение для развития мышления младших школьников. Дедукцию Ушинский ценил не меньше индукции и большую роль в обучении языку отводил последующим упражнениям, направленным на подыскание самими учащимися примеров на только что сформулированное правило. Известный советский методист А. В. Текучев, обобщив данные экспериментальной проверки применения этих двух способов изучения материала, сделал вывод о том, что в работе над темой «Однородные члены предложения» (общее понятие, союзы при однородных членах, обобщающие слова) с одинаковым успехом могут быть использованы оба пути; изучение же правил постановки знаков препинания при однородных членах предпочтительнее проводить дедуктивно-индуктивным способом 9 . Эти же приемы используются не только на уроках родного языка, но и на уроках математики, истории, физики и др. Соответствующая методика преподавания школьного предмета рекомендует учителям более конкретное использование этих методов в работе над отдельными темами учебной программы.

В математике имеется много приверженцев как индуктивного, гак и дедуктивного метода. Например, Л. Д. Кудрявцев полагает, что «на первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход» 10 , ибо индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, способствуют более активному усвоению материала. Далее он отмечает: «В последние годы наблюдается стремление заменять по возможности индуктивный подход дедуктивным, целесообразность этого часто представляется сомнительной» 11 .

Однако как при индуктивном, так и при дедуктивном методе при изложении новых понятий или новых общих теорий необходимо отводить значительное время на конкретные иллюстрации, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. От самого учителя зависит оптимальный выбор методов, позволяющий на высоком уровне самостоятельности организовать познавательную деятельность учащихся.

В математике используются различные виды индукции: полная, неполная и математическая. Применение математической индукции покажем на следующем примере. Надо определить сумму л первых нечетных чисел:

1+3 + 5 + 7 + ... + (2n -1) 12 .

Обозначив эту сумму через S (n ), положим n = 1, 2, 3, 4, 5; тогда будем иметь:

S (1)=1,

S (2)= 1+3=4,

S (3)=1+3 + 5 = 9,

S (4)=1+3 + 5 + 7 = 16,

S (5)=1 + 3 + 5+ 7 + 9=25.

Мы наблюдаем интересную закономерность: при n = 1, 2, 3, 4, 5 сумма л последовательных нечетных чисел равна n 2 . Но заключение по аналогии, что это имеет место при любом л, сделать нельзя, ибо оно может оказаться ошибочным. Применим метод математической индукции, т. е. предположим, что для какого-то числа л наша формула верна, и попытаемся доказать, что Тогда она верна и для следующего числа n +1. Итак, мы полагаем, что S (n )-1 + 3 + 5 + ... + (2n -1)=n 2 . Вычислим S (n +1)=1+3 + 4+ 5 + ... +(2n - 1) + (2n +1). Но по предположению сумма n первых слагаемых равна л 2 , следовательно, S (n +1) = n 2 + (2n + 1) = (n +1) 2 .Итак, предположив, что S (n ) - n 2 , мы доказали, чтo S (n + 1) = (n +1) 2 . Но мы выше проверили, что эта формула верна для n = 1, 2, 3, 4, 5, следовательно, она будет верна и для n =6) и для n =7 и т. д. Формула считается доказанной для любого числа слагаемых.

Этим же методом доказывается, что сумма n первых натуральных чисел, обозначенная S 1 (n ), равнат. е.

В математическом мышлении присутствуют не только логические рассуждения, но и математическая интуиция, фантазия и чувство гармонии, позволяющие предвидеть ход решения задачи или доказательства теоремы. Однако в математике, пишет Л. Д. Кудрявцев, «интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения». Истинность суждения там доказывается «не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов, что не имеет для математики доказательной силы, а чисто логическим путем, по законам формальной логики» 14 . В ходе обучения математике предполагается, что «использование знаний, математического аппарата, интуиции, чувства гармонии, фантазии, умения думать, логики, эксперимента происходит не последовательно по этапам - все это взаимодействует между собой в течение всего процесса...» 15 . В результате этого взаимодействия у учащихся вузов и средних учебных заведений формируется, воспитывается математическая культура. Итак, единство дедукции и индукции в обучении и в научном творчестве своеобразно и ярко проявляется в математике - науке, значительно отличающейся от естественных и от общественных наук как по методам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.

Выше мы приводили типы и примеры сокращенных умозаключений (категорического силлогизма, условных, разделительных и др.).

В ходе обучения математике учащиеся приобретают способность к свертыванию процесса математического рассуждения при решении задач знакомого типа - об этом писали еще известные русские методисты С. И. Шохо-Троцкий (в 1916 г.) и Ф. А. Эрн (в 1915 г.). Они отмечали, что «при многократном решении однотипных задач учащимися отдельные этапы мыслительного процесса сокращаются и перестают осознаваться, но когда нужно, учащийся может вернуться к полному развернутому рассуждению» 16 . Методисты-математики П. А. Шеварев и Н. А. Менчинская в начале 40-х годов также установили соответственно на алгебраическом и арифметическом материале, что «наряду с развернутыми умозаключениями в умственной деятельности школьников при решении задач занимают определенное место и свернутые умозаключения, когда ученик не осознает правила общего положения, в соответствии с которыми он фактически действует... не выполняет всей той цепи соображений и умозаключений, которые образуют полную, развернутую систему решения» 17 . Сокращение процесса рассуждения возникает благодаря упражнениям, причем способные к математике учащиеся переходят к свернутым рассуждениям быстро, средние - медленнее, у неспособных же не замечалось сколько-нибудь заметного свертывания даже в результате многих упражнений. В. А. Крутецкий высказывает такую гипотезу: «Вообще никогда и нигде, вероятно, человек не мыслит до конца развернутыми структурами» 18 . Однако способные ученики мыслят свернутыми структурами, сокращенными умозаключениями при решении не только однотипных, но и новых задач; при этом по просьбе экспериментатора эти учащиеся восстанавливали свернутые структуры до полной (с их точки зрения) структуры. «Свернутые» мыслительные структуры способствуют более быстрой переработке информации, ускорению процесса решения задач, упрощают выполнение сложных операций.

Изучая компоненты структуры математических способностей школьников, В. А. Крутецкий проанализировал высказывания ряда ученых-математиков и преподавателей математики средних школ по этому вопросу. Приблизительно 38% опрошенных товарищей обратили внимание на свертывание процесса рассуждения у способных учащихся. Приведем эти высказывания. «Процесс рассуждения у способных учащихся сокращен и никогда не развернут до полной логической структуры. Это очень экономно, и в этом его значение»; «Я часто наблюдал, как мыслят способные ученики, - для учителя и класса это развернутый и последовательный во всех звеньях процесс, а для себя - это отрывочный, беглый, сокращенный, прямо стенограмма мысли» 19 .

Перечисляя качества ума этих учащихся, почти все опрошенные учителя математики и математики-ученые (98%) отмечали способность к обобщению. «Способный ученик быстро обобщает не только математический материал, но и метод рассуждения, доказательства»; некоторые из опрошенных указывали на способность и даже своеобразную «страсть» к обобщению, способность «видеть общее в разных явлениях», «способность прийти от частного к общему» 20 .

Если проанализировать знания, умения и навыки учащихся, относящиеся к использованию дедукции и индукции в процессе обучения по дисциплинам нематематического профиля, то наряду с положительными моментами можно выделить и ряд недостатков. Прежде всего недостаточно развито умение использовать дедуктивный ход рассуждений: дав верное определение учащийся не всегда справляется с анализом конкретного произведения под углом зрения этого определения, у некоторых yчащихся отсутствуют выводы по теме сочинения, в сознании учащихся иногда имеет место разрыв между фактологическими и теоретическими знаниями и т. д.

Отмеченные положительные моменты и недостатки в знаниях учащихся свидетельствуют о важном значении умелого сочетания индукции и дедукции в ходе изложения, закрепления и проверки усвоения школьного материала. Общих рецептов по поводу того, как, в какой мере использовать дедуктивный или индуктивные метод в обучении, дать нельзя. В связи с этим можно отметить высказывание Л. Д. Кудрявцева о методических принципах преподавания математики: «К сожалению, не существует точных рецептов, как надо преподавать различные разделы математики. Методика преподавания математики не наука, а искусство, Правда, это вовсе не означает, что методике преподавания математики не надо учить. Всякому искусству можно и должно учить: учатся и художники, и музыканты, и артисты, и писатели».

На основе разбора ошибок, допускаемых в педагогическом процессе, можно еще раз сделать вывод о творческом характере применения различных методов обучения и воспитания, о недопустимости шаблонного подхода в процессе обучения.

ч. 1 ... ч. 2 ч. 3 ч. 4 ч. 5 ч. 6 ... ч. 8 ч. 9

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F, то К есть М.

С не есть D или К не есть М.

___________________________

А не есть В или Е не есть F.

Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилеммы может быть следующий вывод:

Но Петров не признался в том, что он сегодня не выполнилзадание, или не сделал его к следующему разу.

__________________________________________________

Петров не честен или не добросовестен 4 .

Схема сложной деструктивной дилеммы такая:

Этой схеме соответствует формула которая является законом логики.

1) 2)

3) 4)

(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импликация, то скобки можно опустить.)

Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозаключение:

Если А есть В, то С есть D; если Е есть F, то G есть H .

Но С не есть D и G не есть H .

___________________________________

Следовательно, А не есть В и Е не есть F.

Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.

Но я его не купил и не украду.

_______________________________

Я не богат и не бесчестен.

1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Я не куплю автомобиль.

________________

Я не богат.

2. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль.

Я не украду автомобиль.

_________________

Я не бесчестен.

Итак, перед нами условно-конъюнктивное, а не условно-дизъюнктивное (лемматическое) умозаключение.